HỌC TOÁN QUA CÁC BÀI TOÁN (phần 3)

Trong bài viết này chúng ta chỉ cần những kiến thức cơ bản và một số suy luận có lí để tiếp cận bài toán bất đẳng thức. Phương pháp trong bài này khá hữu dụng, song dĩ nhiên không thể áp dụng cho tất cả các bài toán bất đẳng thức khác. Bên cạnh đó, mặc dù không định nghĩa chính xác, bài viết cũng  cho các em bước đầu tiếp cận khái niệm “biểu thức đối xứng”.

Bài 3. Cho các số thực a,\;b,\;c,\;d,\;e. Chứng minh rằng: 

{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} \ge ab + ac + ad + ae.

Tìm tòi lời giải:

Chúng ta hãy cùng quan sát:

– Vế trái là tổng bình phương của 5 số, có thể thấy biểu thức này đẹp và đều nhau (các số a, b, c, d, e xuất hiện một lần, hệ số của bình phương là 1).

– Vế phải là tổng của tích ab, ac, ad, ae. Điều bất thường là a xuất hiện 4 lần; trong khi b, c, d, e xuất hiện 1 lần trong 4 tích trên.  Sự xuất hiện của b, c, d, e là đẹp và đều nhau, duy chỉ có a là bất thường với 4 lần xuất hiện.

Đề ra hướng giải quyết: để có sự tương đồng giữa 2 vế, ta phải làm sao cho a xuất hiện 4 lần, và hệ số là đều nhau. Cách đơn giản nhất để làm điều này là phân tích như sau:

{a^2} = \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2}

Như vậy ta có thể chứng minh bất đẳng thức đã cho như sau:

\begin{array}{l}  {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} \ge ab + ac + ad + ae \\  \Leftrightarrow \left( {\frac{{{a^2}}}{4} + {b^2} - ab} \right) + \left( {\frac{{{a^2}}}{4} + {c^2} - ac} \right) + \left( {\frac{{{a^2}}}{4} + {d^2} - ad} \right) + \left( {\frac{{{a^2}}}{4} + {e^2} - ae} \right) \ge 0 \\  \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{2} - b} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2} - c} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2} - d} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2} - e} \right)^2} \ge 0 \\  \end{array}

Vì bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi số thực a,\;b,\;c,\;d,\;e nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi \frac{1}{2}a = b = c = d = e.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: