HỌC TOÁN QUA CÁC BÀI TOÁN (phần 2)

Bài 2. Tìm số tự nhiên n để số {n^4} + 4 là số nguyên tố.

{Đề thi HSG Toán  9 vòng 1 huyện Trảng Bom, tỉnh Đồng Nai, 2010-2011}

Tìm tòi lời giải:

Ý tưởng để giải quyết chung các bài toán tìm một số tự nhiên n để số A(n) là số nguyên tố chính là phân tích, biến đổi A(n) thành tích của hai thừa số, khi đó lập luận để A(n) là số nguyên tố thì thừa số nhỏ hơn (trong hai thừa số của A(n)) phải bằng 1 và thừa số lớn hơn (thừa số còn lại) phải bằng A(n).

Quay lại bài toán đã cho, ta thấy số mũ của số hạng có bậc cao nhất ({n^4} ) là bằng 4-số mũ chẵn, do đó để phân tích, biến đổi về dạng tích của hai thừa số thì ta thực hiện bằng cách thêm và bớt các số hạng mới để đưa về dạng hằng đẳng thức {a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right).

Cụ thể ta biến đổi được như sau:

\begin{array}{l}  {n^4} + 4 = \left( {{n^4} + 4{n^2} + 4} \right) - 4{n^2} \\  = {\left( {{n^2} + 2} \right)^2} - {\left( {2n} \right)^2} = \left( {{n^2} + 2 - 2n} \right)\left( {{n^2} + 2 + 2n} \right) \\  \end{array}

Với chú ý là \left( {{n^2} + 2 - 2n} \right) < \left( {{n^2} + 2 + 2n} \right) với mọi số tự nhiên n nên để {n^4} + 4 là số nguyên tố thì ta phải có

\left\{ \begin{array}{l}  {n^2} + 2 - 2n = 1 \\  {n^2} + 2 + 2n = {n^4} + 4 \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow n = 1

Lời giải:

{các em tự trình bày}

Đáp số: n=1

Lưu ý: qua bài toán trên các em cần phải biết cách nắm được ý tưởng chủ đạo khi tiếp cận dạng toán “chứng minh một số tự nhiên là số nguyên tố” để có thể giải tốt các bài toán khác cùng dạng, học một phải biết mười, không giải toán hời hợt, qua loa các em nhé!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: