BÀI GIẢNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Phần 1. (15-12-2012)

Các em làm quen với bất đẳng thức qua bài viết này nhé.

Ta đã biết rằng: {M^2} \ge 0 với mọi số thực M.

Do đó ta suy ra: {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\quad \left( 1 \right)

Tương tự ta có: {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc\quad \left( 2 \right)

{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca\quad \left( 3 \right)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right), ta được:

{a^2} + {b^2} + {b^2} + {c^2} + {c^2} + {a^2} \ge 2ab + 2bc + 2ca

\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)

\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca

Vậy là bằng cách kết hợp hằng đẳng thức đáng nhớ với kiến thức {M^2} \ge 0 ta xây dựng được bài toán sau:

Bài toán 1: chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta có: {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca

Bài toán trên được gọi là chứng minh bất đẳng thức (bất đẳng thức là một biểu thức liên kết hai vế với nhau bởi dấu “>” hoặc dấu “<” hoặc dấu “\ge ” hoặc dấu “\le “).

Để giải bài toán trên (tức là để chứng minh bất đẳng thức)  thì ta vận dụng các kiến thức toán học đã biết để chứng tỏ rằng bất đẳng thức đã cho là luôn luôn đúng.

Ở trên là con đường để xây dựng bài toán 1 của người ra đề, chúng ta có thể chứng minh theo cách trình bày ở trên (rất khó để làm được như vậy) hoặc theo cách sau đây:

Lời giải bài toán 1:

Ta có:

\begin{array}{l}  {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca \\  \Leftrightarrow 2.\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2.\left( {ab + bc + ca} \right) \\  \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right) \ge 0 \\  \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\quad \left( * \right) \\  \end{array}

Vì \left( * \right) đúng với mọi số thực a,b,c nên ta có điều phải chứng minh.

Vậy là các em có thể bước đầu tiếp cận được khái niệm chứng minh bất đẳng thức rồi đó.

Các em thử luyện tập với các bài tập dưới đây nhé!

Bài tập 1.1. Chứng minh với mọi số thực a,b ta có bất đẳng thức sau: {a^2} + {b^2} + 1 \ge ab + a + b

Bài tập 1.2. Cho a,b > 0, chứng minh rằng \frac{{a + b}}{2} \le \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}}

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: