ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN TRẢNG BOM

TOAN_V1_08-09

TOAN_V1_09-10TOAN_

V1_09-10DA_Toan_

DA_Toan_V1_09-10

TOAN_V2_09-10

DA_Toan_V2_09-10

HỌC TOÁN QUA CÁC BÀI TOÁN (phần 3)

Trong bài viết này chúng ta chỉ cần những kiến thức cơ bản và một số suy luận có lí để tiếp cận bài toán bất đẳng thức. Phương pháp trong bài này khá hữu dụng, song dĩ nhiên không thể áp dụng cho tất cả các bài toán bất đẳng thức khác. Bên cạnh đó, mặc dù không định nghĩa chính xác, bài viết cũng  cho các em bước đầu tiếp cận khái niệm “biểu thức đối xứng”.

Bài 3. Cho các số thực a,\;b,\;c,\;d,\;e. Chứng minh rằng: 

{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} \ge ab + ac + ad + ae.

Tìm tòi lời giải:

Chúng ta hãy cùng quan sát:

– Vế trái là tổng bình phương của 5 số, có thể thấy biểu thức này đẹp và đều nhau (các số a, b, c, d, e xuất hiện một lần, hệ số của bình phương là 1).

– Vế phải là tổng của tích ab, ac, ad, ae. Điều bất thường là a xuất hiện 4 lần; trong khi b, c, d, e xuất hiện 1 lần trong 4 tích trên.  Sự xuất hiện của b, c, d, e là đẹp và đều nhau, duy chỉ có a là bất thường với 4 lần xuất hiện.

Đề ra hướng giải quyết: để có sự tương đồng giữa 2 vế, ta phải làm sao cho a xuất hiện 4 lần, và hệ số là đều nhau. Cách đơn giản nhất để làm điều này là phân tích như sau:

{a^2} = \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2}

Như vậy ta có thể chứng minh bất đẳng thức đã cho như sau:

\begin{array}{l}  {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} \ge ab + ac + ad + ae \\  \Leftrightarrow \left( {\frac{{{a^2}}}{4} + {b^2} - ab} \right) + \left( {\frac{{{a^2}}}{4} + {c^2} - ac} \right) + \left( {\frac{{{a^2}}}{4} + {d^2} - ad} \right) + \left( {\frac{{{a^2}}}{4} + {e^2} - ae} \right) \ge 0 \\  \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{2} - b} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2} - c} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2} - d} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2} - e} \right)^2} \ge 0 \\  \end{array}

Vì bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi số thực a,\;b,\;c,\;d,\;e nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi \frac{1}{2}a = b = c = d = e.

Các bài toán trong các đề thi học sinh giỏi toán (phần 2)

Thầy giới thiệu tiếp với các em các bài toán thuộc chủ đề hàm số bậc nhất. Các em làm và gửi bài làm cho thầy chấm và nhận xét nhé! (thầy đã gửi bài viết về hàm số bậc nhất trong mục BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 NĂM HỌC 2012-2013, các em có thể tham khảo để làm tốt các bài toán trong các đề thi dưới đây)

Bài 1. Cho ba điểm A\left( {3;5} \right),\;B\left( { - 1; - 7} \right),\;C\left( {1; - 1} \right). Chứng minh ba điểm A,\;B,\;C thẳng hàng.

Đề thi HSG vòng 2 huyện Trảng Bom-Đồng Nai, 2008-2009

Bài 2. Cho hai hàm số bậc nhất y = m\left( {m - 2} \right)x + m - 4\quad \left( {{d_1}} \right)

và y = \left( {m + 4} \right)x + 5m\quad \left( {{d_2}} \right).

a. Với m = 1, hãy vẽ \left( {{d_1}} \right) và \left( {{d_2}} \right) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng \left( {{d_1}} \right) và \left( {{d_2}} \right) song song với nhau.

Đề thi HSG vòng 1 huyện Trảng Bom-Đồng Nai, 2009-2010

Bài 3. Cho các đường thẳng có phương trình: \left( {4 - 5m} \right)x + \left( {3m - 2} \right)y + 3m - 4 = 0\quad \left( 1 \right) (m là tham số).

a. Vẽ đường thẳng \left( 1 \right) khi m = 0.

b. Chứng minh với mọi giá trị của m, các đường thẳng \left( 1 \right) luôn đi qua một điểm cố định.

Đề thi HSG vòng 1 huyện Trảng Bom-Đồng Nai, 2010-2011

Bài 4. Với giá trị nào của m thì hàm số y = \left( {{m^2} + 5m} \right){x^2} + \left( {3{m^2} - 7m} \right)x + 9 là hàm số bậc nhất?

Đề thi HSG vòng 2 huyện Trảng Bom-Đồng Nai, 2011-2012

Các bài toán trong các đề thi học sinh giỏi toán (phần 1)

Thầy sẽ giới thiệu với các em các bài toán đã ra trong các đề thi HSG để các em rèn luyện và gửi bài làm cho thầy chấm nhé. Sau đây là các bài toán thuộc chủ đề TÍNH TOÁN, RÚT GỌN BIỂU THỨC (các em có thể xem thêm bài giảng về chủ đề này trong mục BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 NĂM HỌC 2012-2013).

Bài 1. Rút gọn biểu thức: A = \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } + \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }}

Đề thi  HSG vòng 1 huyện Trảng Bom-Đồng Nai, 2008-2009

Bài 2. Rút gọn biểu thức: A = \sqrt {23 + 4\sqrt {15} } - \sqrt[3]{{6\sqrt 3 - 10}}

Đề thi  HSG vòng 1 huyện Trảng Bom-Đồng Nai, 2009-2010

Bài 3. Rút gọn biểu thức: A = \sqrt {7 + 2\sqrt {10} } + \sqrt {7 - 2\sqrt {10} }

Đề thi  HSG vòng 1 huyện Trảng Bom-Đồng Nai, 2010-2011

Bài 4. Rút gọn A = \frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {17 - 12\sqrt 2 } }} - \frac{{\sqrt {3 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {17 + 12\sqrt 2 } }}

Đề thi  HSG vòng 1 huyện Trảng Bom-Đồng Nai, 2011-2012

GỬI CÁC EM TRONG ĐỘI TUYỂN TOÁN 9

Các em thân mến!

Thầy muốn nhắn với các em rằng: thầy thật sự không có nhiều thời gian để bổ sung các kiến thức cơ bản và nền tảng trên lớp học cho các em được, vì vậy thông qua trang blog này thầy sẽ cố gắng viết các bài giảng ngắn (thậm chí rất ngắn để các em dễ học) để cung cấp một số nội dung kiến thức và bài tập cho các em học và luyện tập. Vì vậy thầy mong các em hãy cố gắng sắp xếp thời gian để đọc và giải các bài toán thầy cho kèm theo, để qua đó các em thật sự vận dụng được kiến thức mới khi làm bài tập và có thể trong quá trình tìm tòi lời giải các bài tập đó thì sẽ nảy sinh những vướng mắc mà các em chưa thật sự vượt qua được để thầy và trò chúng ta cùng trao đổi để tìm cách giải quyết! (các em có thể gửi câu hỏi ở phần để lại phản hồi  trong mỗi bài viết, thầy sẽ đọc và giải đáp cho các em).

Các em cần theo dõi kế hoạch dạy bồi dưỡng dành cho các em qua trang blog này để kịp thực hiện các yêu cầu thầy gửi cho các em nhé. Chúc các em học tốt với sự nỗ lực mỗi ngày.

“Sự học không phải như đổ nước vào xô, mà phải như việc thắp một ngọn lửa” (Khi xô đầy nước thì sẽ không còn đổ nước được nữa, còn ngọn lửa thì cứ tiếp tục cháy mãi).

BÀI GIẢNG VỀ SỐ HỌC (phần 2)

2. Một số tính chất về phép chia hết.

Với mọi số nguyên a, b, c ta có các tính chất sau:

Tính chất 1. Nếu a \vdots c và b \vdots c thì suy ra \left( {a \pm b} \right) \vdots c.

Tính chất 2. Nếu a \vdots c và a \vdots b thì suy ra a chia hết cho bội chung nhỏ nhất của b và c.

Trường hợp đặc biệt: Nếu a \vdots c và a \vdots b mà \left( {b,c} \right) = 1 (tức là b và c là hai số nguyên tố cùng nhau) thì khi đó suy ra a \vdots \left( {b.c} \right).

Ngoài các tính chất quan trọng khác (sẽ được giới thiệu sau) thì  các em cần nắm được nội dung của hai tính chất trên để vận dụng vào giải toán vì đó là hai tính chất cơ bản và nền tảng quan trọng trong các bước lập luận và phân tích khi giải các bài toán số học liên quan về phép chia hết. 

BÀI GIẢNG VỀ SỐ HỌC (phần 1)

Để có thể làm tốt các bài toán về số học (số nguyên tố, số chính phương, tính chia hết, tìm số dư…) thì các em cần bổ sung một số kiến thức cơ bản qua bài giảng sau.

1. Một số bài toán cơ bản về phép chia hết.

Bài toán 1. Trong n \left( {n \ge 1} \right) số tự nhiên liên tiếp thì có một và chỉ một số chia hết cho n.

Bài toán 2. Tích của hai số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 2.

Chứng minh: trong hai số nguyên liên tiếp thì có một số là số chẵn nên tích của chúng chia hết cho 2.

Bài toán 3. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6.

Chứng minh: trong ba số tự nhiên liên tiếp thì có ít nhất một số chẵn và có duy nhất một số chia hết cho 3 (theo bài toán 1) nên tích của ba số tự nhiên liên tiếp vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 nên chúng chia hết cho bội chung nhỏ nhất của 2 và 3, tức là chúng chia hết cho 6.

Bài toán 4. Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8.

Chứng minh: tích của hai số chẵn liên tiếp có dạng 2k.\left( {2k + 2} \right) = 4k\left( {k + 1} \right)\;\;\;\left( {k \in Z} \right), mà tích k\left( {k + 1} \right) chia hết cho 2 nên suy ra 4k\left( {k + 1} \right) chia hết cho 8.

Bài toán 5. Tích bốn số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 24.

Chứng minh: trong bốn số nguyên liên tiếp có chứa 2 số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho 8, mặt khác lại chứa 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, do đó tích của bốn số nguyên liên tiếp phải chia hết cho bội chung nhỏ nhất của 8 và 3, tức là chia hết cho 24.

Phần 2 thầy sẽ giới thiệu một số tính chất cơ bản của phép chia hết.

Previous Older Entries